Hyperreaaliluku

Hyperreaalilukujen järjestelmä on eräs tapa käsitellä äärettömiä ja äärettömän pieniä eli infinitesimaalisia määriä (kvantiteetteja). Hyperreaaliluvut tai epästandardit reaaliluvut, ${\displaystyle *\mathbb {R} }$, ovat reaalilukujen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ laajennus, joka sisältää suurempia lukuja kuin mikään muotoa

${\displaystyle 1+1+\cdots +1\,}$ oleva.

Sellaiset luvut ovat äärettömiä ja niiden käänteisluvut on infinitesimaaleja. Termin "hyperreaali" esitteli Edwin Hewitt 1948.

Reaalilukujen laajennukseen hyperreaalilukuihin kuuluvat siis tavallisten reaalilukujen lisäksi äärettömän suuret ja äärettömän pienet luvut eli infinitesimaalit. Nämä voidaan määritellä seuraavasti:

Nollasta eroava luku ${\displaystyle \epsilon }$ on äärettömän tai infinitesimaalisen pieni eli siis infinitesimaali, jos ${\displaystyle \vert \epsilon \vert <{\frac {1}{n}}{\text{ }}\forall n=1,2,3,....}$

Kääntäen infinitesimaalin ${\displaystyle \epsilon }$ käänteisluku ${\displaystyle \omega ={\frac {1}{\epsilon }}}$ on äärettömän suuri tai ääretön tarkoittaen täsmällisesti, että ${\displaystyle \vert \omega \vert >n{\text{ }}\forall n=1,2,3,....}$

Ja vastaavasti äärettömän ${\displaystyle \omega }$ käänteisluku ${\displaystyle {\frac {1}{\omega }}}$ on infinitesimaali.

Hyperreaaliluvut noudattavat siirtoperiaatetta, Leibnizin heuristisen jatkuvuuden lain täsmällistä versiota. Siirtoperiaate sanoo, että väitteet ${\displaystyle \mathbb {R} }$:ssä ovat päteviä ${\displaystyle *\mathbb {R} }$:ssä. Esimerkiksi, yhteenlaskun vaihdantalaki, ${\displaystyle x+y=y+x}$, pätee hyperreaaliluvuille aivan kuin se pätee myös reaaliluvuille; kuten ${\displaystyle \mathbb {R} }$ on reaalisesti suljettu kunta, joka tarkoittaa vain yksinkertaisesti kuntaa, jolla on oleellisesti samat ominaisuudet kuin reaalilukujen kunnalla, siten on myös ${\displaystyle *\mathbb {R} }$. Samoin kuten ${\displaystyle \sin {\pi n}=0}$ kaikille kokonaisluvuille ${\displaystyle n}$, on yhtä lailla voimassa ${\displaystyle \sin {\pi H}=0}$ kaikille hyperkokonaisluvuille ${\displaystyle H}$. Siirtoperiaate on Łośin teoreeman seuraus vuodelta 1955.

Hyperreaalilukujen ja erityisesti siirtoperiaatteen sovellusta analyysin ongelmiin kutsutaan epästandardiksi analyysiksi. Yksi välitön sovellus on analyysin peruskäsitteiden kuten derivaatan ja integraalin määrittely jollakin tapaa yksinkertaisemmin. Täten ${\displaystyle f(x)}$:n derivaatta tulee muotoon ${\displaystyle f'(x)={\rm {st}}\left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)}$ infinitesimaalille ${\displaystyle \Delta x}$, missä ${\displaystyle st()}$ merkitsee funktion standardiosaa, joka liittää jokaiseen äärelliseen hyperreaalilukuun yksikäsitteisen äärettömän lähellä olevan reaaliluvun. Integraali määritellään vastaavasti sopivan äärettömän summan standardiosana.